輪盤獎賞、優惠同回贈
輪盤獎賞，例如 matchplay優惠券、唔可以兌現嘅籌碼同輸錢回贈，會將少少錢由賭場轉去玩家。計啱價錢嘅話，當中有啲值多過轉輪攞走嘅。
一張令一賠一注派彩加倍嘅優惠券，喺歐式轉輪上值注碼大約46%。一個一次性推廣籌碼落喺覆蓋n個號碼嘅注上，值佢面值嘅(36 − n)/37：單號注95%，紅49%。退返一半淨損失嘅回贈，令一場短短嘅落紅值得玩。呢啲全部都冇改變轉輪；改變嘅係邊個埋單。
點解優惠可以贏過莊家優勢
莊家優勢數學莊家優勢賭場平均喺每一注注碼入面留低嘅比例：歐式輪盤係2.70%。睇全文 →係每落一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →嘅價錢：歐式轉輪2.70%。輪盤獎賞會喺一注嘅其中一邊加錢，如果加嘅多過注碼嘅2.70%，嗰注喺優惠期間就係正數。賭場照樣提供，因為佢哋有限制：每次去一張優惠券、只可以落唔可以兌現嘅籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →、只有輸大錢嘅玩家先有回贈。數學同本網站其他地方一樣：機會乘派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →，將所有結果加埋。
Matchplay優惠券
Matchplay優惠券放喺一注現金注旁邊，如果嗰注贏，就將派彩加倍；無論輸贏，賭場都會收走優惠券。Bollman（2024）計過一張2022年拉斯維加斯嘅優惠券，喺一賠一注注一賠一注紅／黑、單／雙、大／細。18個號碼，派彩1:1。睇全文 →上最多配對$50。喺歐式轉輪，$50落紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →加優惠券，有18/37機會贏$100，有19/37機會輸$50：預期+$22.97，即係注碼嘅45.9%。喺美式轉輪係+$21.05，42.1%。喺單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →上同一張優惠券會值兩倍，所以優惠券只限一賠一注用。
唔可以兌現嘅籌碼
推廣籌碼，又叫不可兌換籌碼，可以落注但唔可以換錢。通常規則係只用一次：贏嘅注用普通籌碼派彩，推廣籌碼收走；輸嘅都收走。一個$100籌碼落喺覆蓋n個號碼嘅注上，有n/37機會贏(36 − n)/n × $100，所以值佢面值嘅(36 − n)/37。籌碼本身嘅價值永遠唔會返嚟，返嚟嘅只有贏嘅錢，所以好少贏但派得多嘅注咁樣蝕得最少：單號注$94.59，紅$48.65。如果籌碼可以留喺投注枱面設備投注枱面賭枱上面印住嘅落注格。又叫 table、felt、cloth。睇全文 →直至輸為止，一賠一注喺歐式轉輪值面值嘅18/19，美式值9/10（Bollman，2024）。
將籌碼變成現金
價值只係平均數；想肯定攞到錢嘅玩家可以用對沖買返嚟。Bollman 嘅例子嚟自以前嘅 Vegas World 賭場：喺美式轉輪用$1,000一次性籌碼，$500落紅、$500落黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →，再用$20現金落0同00各一注。開紅或者黑就贏$500，輸$40現金：+$460。開零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →就輸晒兩堆籌碼，現金派$700：+$680。玩家最少袋到$460，平均$471.58，係籌碼單落紅價值嘅99.6%。如果規則容許籌碼落單一號碼，歐式轉輪有個更好嘅對沖：36個號碼每個落$25籌碼（$900），再用$25現金落零號。開邊個號碼都派$875，除非開零號，否則零號嘅現金就輸，所以玩家最少保住$850，即係籌碼面值嘅94%，完全冇風險。
輸錢回贈
大注玩家成日會有回贈：喺約定嘅一場完咗之後，退返佢淨損失嘅一部分。回贈只係輸錢先有，所以結果上落越大、場越短（短到莊家優勢未主導），佢就越值錢。Epstein（2013年）計咗美式轉輪嘅情況；下面係我哋計嘅歐式數字。退返一半淨損失嘅話，固定落一賠一注最多玩103轉都值得，25轉最着數，平均值+0.51注。單號注上落大到成場大約3,600轉之內都係正數，882轉最着數，值+17.25注。用比較常見嘅10%回贈，一賠一注只有一轉係正數，單號注就20轉最着數，值+0.62注。
輪盤優惠條款：賭場靠乜嘢
每個優惠都有上限，而上限保護賭場：每次去一張優惠券、籌碼按固定金額發、回贈只同每次預期損失遠大過回贈嘅玩家傾。一個用咗優惠券、之後留低成晚每注$50落紅嘅玩家，17轉之內就以每轉$1.35將嗰$22.97還返晒。對攞完就走、或者本來都會玩咁多嘅玩家，呢個價值係真嘅。
公式
問題
對佢配搭嗰一注嚟講，可以。其他每一注仍然要蝕注碼嘅2.70%。
好少玩家諗到，籌碼有限，而賭場早就將優惠當廣告費計咗。
好少。回贈係大戶嘅條款，通常同賭場公關傾好，按每次嘅淨損失派。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
你攞到一個$25推廣籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →，落一注之後無論中定輸都會收返。應該擺喺邊：紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →、打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →，定係單一號碼？
睇答案
答案 單一號碼。佢嘅平均價值係$23.65；打注係$16.22，紅係$12.16。
籌碼本身永遠唔會返畀你，只有佢贏到嘅部分會返。紅有18/37概率贏$25：$12.16。打注有12/37概率贏$50：$16.22。單一號碼有1/37概率贏$875：$23.65。
一般嚟講，落n個號碼嘅注價值係籌碼嘅(36 − n)/37，所以號碼愈少愈好。普通籌碼就冇分別，因為每次中注碼都會退返，每一注嘅價值都係佢嘅36/37。收走注碼傷嘅係成日中嘅注，對37次先中一次嘅注差唔多冇影響。
賭場會喺啱啱一轉之後，退返你淨輸嘅一半。喺紅落$100值唔值得玩？單一號碼落$100呢？
睇答案
答案 兩樣都值得：落紅大約+$22.97，落嗰個號碼大約+$45.95。
落紅有18/37概率贏$100，退錢之後有19/37概率輸$50：(1,800 − 950)/37 = +$22.97。
落單一號碼有1/37概率贏$3,500，有36/37概率輸$50：(3,500 − 1,800)/37 = +$45.95。
呢個又係matchplay優惠券嗰啲數字。一注$100輸咗只係輸$50，即係贏$100或者輸$50，正正好似拎住一張令贏錢加倍嘅優惠券、落$50嘅注。一場玩得耐啲，退錢只係按淨結果計，未退之前輸贏已經互相抵銷，價值就縮細；落紅退一半嘅話，25轉係最好嘅長度。
賭場會喺你預先揀定固定次數嘅紅注$100之後，退返淨輸嘅一半：1、2或者3轉。邊個最有價值？
睇答案
答案 三轉：大約+$31.45。一轉值+$22.97，兩轉只係+$20.96。
一轉：有18/37概率贏$100，或者有19/37概率輸$100再退$50：好似上一題咁，係+$22.97。
兩轉：兩次都贏（1,369次有324次），+$200。一贏一輸（684次），$0，冇得退錢。兩次都輸（361次），−$200，退錢之後−$100。平均：(200 × 324 − 100 × 361)/1,369 = +$20.96。退錢只係喺輸嘅時候先有，兩轉將好多單轉嘅損失變咗打和。
三轉永遠唔會打和。三次都贏（50,653次有5,832次）：+$300。贏兩次（18,468次）：+$100。贏一次（19,494次）：−$100，退錢之後−$50。一次都冇贏（6,859次）：−$300，退錢之後−$150。平均：+$31.45。
預先承諾嘅轉數愈多，退錢就愈有價值，而莊家優勢每轉只係令你畀$2.70，所以價值升到25轉嘅時候大約+$51（睇上面個表）；單數轉數一定好過跟住佢嘅雙數轉數。
拉斯維加斯一間賭場曾經派過一張優惠券：喺00落$5，中咗就派$250，而唔係平時嘅$175。喺佢嘅雙零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →轉輪上，附優惠券嘅$5注值幾多，即係注碼嘅百分之幾？
睇答案
答案 大約+34%：呢注平均值+$1.71。如果$250包埋退返嘅$5，就係+31.6%。
00每38轉中一次。有優惠券：一次+$250，其餘37次每次−$5。平均：(250 − 37 × 5)/38 = 65/38 = +$1.71，即係$5嘅34.2%。冇優惠券：(175 − 185)/38 = −$0.26，即係平時嘅−5.26%。
如果$250係返嘅總數，中咗淨額係$245，平均係(245 − 185)/38 = +$1.58，即係31.6%。
Bollman（2024）將Lady Luck賭場（而家係Downtown Grand）呢張優惠券出做練習；題目旁邊印住嘅7.89%答案唔符合任何一種解讀。同matchplay優惠券一樣，佢只係值一次：用完就停手。
漫畫小插曲
優惠對攞完就返屋企嘅玩家最值錢。
來源
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.