凱利公式同輪盤
凱利公式話畀有優勢嘅賭徒知應該落幾多注碼。對輪盤，佢嘅答案好清楚：乜都唔落。
凱利注碼 = 優勢 / 賠率。優勢係負數嘅話，公式會得出一個負數比例，即係唔好落注。呢條公式仍然幫到你明白，點解玩偏差嘅人會咁樣決定注碼，同埋點解其他人應該按預算決定注碼。
公式
John Kelly（1956年）問：一個知道自己優勢嘅賭徒，應該點樣決定注碼，先可以令本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →長遠增長得最快？對一個派1賠b、贏嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係p、輸嘅概率係q = 1 − p嘅注，答案係落本錢嘅f* = (bp − q) / b。f*係正數就落嗰個比例；零或者負數就唔好落。Kelly 喺 Bell Labs 做嘢，佢篇論文「A new interpretation of information rate」將問題放喺 Claude Shannon 嘅資訊理論入面：一個透過有雜訊嘅線路收貼士、喺公平賠率落注嘅賭徒，本錢最多只可以按條線路傳遞資訊嘅速率增長。1961年，Leo Breiman 證明咗凱利落注長遠嚟講會贏過任何本質上唔同嘅策略，而且差唔多用最短時間達到既定目標。
輪盤嘅凱利落注
紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →：b = 1，p = 18/37，q = 19/37；f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37。單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →：b = 35，p = 1/37，q = 36/37；f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295。每種標準注嘅凱利比例都係負數，因為每種注嘅優勢都係負數，而增長最優嘅注碼係零。輪盤嘅凱利落注，只係用正式方法講出莊家優勢頁講嘅嘢：冇任何注碼大細可以令一個期望值負數嘅注令本錢增長。
凱利真正用得着嘅地方
玩偏差嘅人有優勢，亦有注碼大細嘅問題。Jagger、García-Pelayo 一家同 Eudaemons 都要決定喺量度到嘅優勢上落幾多，落少咗浪費優勢，落多咗就可能未等優勢顯現已經輸清。對一個每30次中1次嘅格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →，凱利話每轉喺嗰個號碼落本錢嘅0.57%：有$10,000，就大約每轉$57，典型增長大約每轉0.054%，即係1,000轉×1.7。平均收益係佢兩倍，每轉0.11%，但凱利瞄準嘅係典型本錢，唔係平均本錢，因為平均值會畀幾次好彩嘅長龍拉高。實際上通常揀半凱利，因為優勢嘅估計唔確定。
典型同平均
典型本錢同平均本錢之間差距好闊。攞一個每25次中1次嘅格，優勢係44%，即係 Thorp 為佢部裝置畀出嘅數字。凱利喺佢身上落本錢嘅1.26%。1,000轉之後，典型本錢增長咗大約11.5倍，而平均值因為幾次極好彩嘅長龍拉高，增長咗大約249倍。落多過凱利會提高平均值、降低典型結果：用兩倍凱利注碼，典型本錢只係變雙倍；去到兩倍半凱利注碼，本錢就會縮水，雖然每一注仍然有44%優勢。落少啲就唔使蝕好多：一半注碼保留大約四分之三嘅增長。
當優勢只係估計
凱利假設優勢係已知嘅。喺賭枱上佢係估出嚟，而且通常估高咗。Epstein 嘅例子建基於 Thorp 嘅44%，係一個喺雙零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →轉輪1,225轉入面中咗49次嘅號碼：每25次中1次，44%嘅優勢，凱利注碼1.26%。但公平嘅雙零轉輪有38個號碼，其中最多中嘅一個，喺1,225轉入面去到49次或以上，大約每九次有一次。任何紀錄入面最多中嘅號碼，亦都係運氣幫得最多嘅號碼，所以就算真係有偏差嘅格，喺紀錄入面都會睇落好過實際：即係贏家詛咒。如果嗰個格其實冇偏差，凱利注碼就只係一個平均輸5.26%嘅注。通常嘅應對方法係只落凱利嘅一部分，同埋繼續數，直至優勢喺一份新紀錄入面都仲成立（睇吓「點樣搵出輪盤轉輪偏差」）。
有優勢嘅人
知道有優勢，唔等於用得好。Haghani 同 Dewey（2016年）畀61個人每人$25，叫佢哋用半個鐘喺一個銀仔上落注，話佢哋知個銀仔有60%機會出公，贏款上限$250（玩家去到上限先知有上限）。凱利話每次都落本錢嘅20%喺公，作者估計穩定落10–20%大約95%嘅時間會去到上限。只有21%嘅玩家做到。28%輸清，61人入面有18個將所有錢押喺一次掟，大約三分之一最後少過開頭嘅$25，平均派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →係$91。61人入面只有五個聽過凱利公式。有優勢嘅話，注碼大細決定你保唔保得住佢；冇優勢，好似喺公平轉輪咁，幾大嘅注碼都冇用。
應該用乜代替
冇優勢嘅話，注碼大細係預算問題，唔係增長問題：注碼 = 你願意每轉使幾多，由每個鐘嘅預算同賭枱節奏計出嚟（睇本錢管理頁）。凱利對普通玩家嘅貢獻，係佢個答案夠清楚：零。你落嘅任何高過零嘅注碼，都係玩嘅價錢，由你自己揀，唔係任何公式優化出嚟。
關於部分凱利同「資金管理」
以「輪盤凱利」名義賣、建議每注落本錢固定百分比嘅系統，其實係注碼越嚟越細嘅固定注碼策略固定注碼每一轉都落同樣嘅金額。所有加注系統都用佢做比較基準。睇全文 →。佢哋輸總投注額錢總投注額一場或者一段時間入面總共落咗幾多錢，包括用贏返嚟嘅錢再落嘅注。又叫 handle、action。睇全文 →嘅2.70%，而且因為輸嗰陣注碼會縮細，佢哋只係令輸清嚟得慢，唔係令佢冇咁易發生。用嚟令預算撐耐啲係合理嘅方法；但佢唔係凱利，凱利會叫你停手。
公式
問題
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
Thorp同Shannon嘅預測裝置帶嚟大約44%嘅優勢。落單一個預測號碼，凱利公式話應該落本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →嘅1.26%。如果同樣44%嘅優勢係喺一注分散落五個相鄰號碼嘅注上面呢？
睇答案
答案 咁凱利公式就話應該落本錢嘅7.1%，而本錢增長速度快差唔多六倍：1,000注之後大約變成125萬倍，而單一號碼只係大約11.5倍。
優勢44%嘅單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →，中嘅概率係0.04，因為36 × 0.04 = 1.44。凱利公式嘅注碼係優勢除賠率：0.44/35 = 1.26%。每注嘅典型增長率係0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244，所以1,000注令本錢乘大約e^2.44 ≈ 11.5。
將一份注碼分散落五個號碼，呢注中嘅概率係0.20，每1蚊返36/5（連注碼），即係1賠6.2：仍然係44%嘅優勢，因為0.2 × 7.2 = 1.44。凱利公式嘅注碼變成0.44/6.2 = 7.10%，而每注增長率係0.01404，大約係原本嘅5.75倍。1,000注之後即係e^14.04，大約125萬。
優勢一樣；上落細啲。五次中一次嘅注可以承受大啲嘅本錢比例而唔會冒輸清光嘅風險，凱利公式嘅增長率正正回報咗呢點。Thorp（1984）用呢個例子解釋點解預測玩家落區轉輪區轉輪上面一段連續嘅格，唔同投注枱面上面嘅一組號碼。睇全文 →。實際上，五個鄰號注鄰號注一個號碼，加埋轉輪上面佢兩邊各兩個格，一共五個單號籌碼。睇全文 →嘅優勢比最好嘅單一號碼低少少（睇〈輪盤優勢玩法〉）。
有個玩家發現兩個相鄰嘅格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →各以25分之1嘅頻率出現，而唔係37分之1。應該落佢哋中間嘅分注注分注兩個相連嘅號碼，派彩17:1。睇全文 →、派1賠17，定係兩個號碼各落一注單號注？凱利公式點講，同得一個咁嘅格比，本錢增長得幾快？
睇答案
答案 冇分別：分注落本錢嘅2.59%，或者每個號碼各落1.29%。1,000轉入面，典型本錢大約增長155倍，而一個格只係11.5倍。
分注中嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係2/25 = 0.08，派1賠17，所以每落一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →返18 × 0.08 = 1.44：44%嘅優勢，同一個有偏差嘅格一樣。凱利公式嘅注碼係優勢除賠率：0.44/17 = 2.59%。
兩注各1.29%嘅單號注，結果完全一樣。任何一個號碼出，一個籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →以1賠35中，另一個輸，淨額係本錢嘅34 × 1.29% = 44%，同分注嘅派彩一樣；兩個都唔出，兩注都輸。
每轉增長率係0.00505，對比單一個格嘅0.00244，所以1,000轉之後典型本錢係e^5.046 ≈ 155倍，而唔係e^2.44 ≈ 11.5倍。兩個好號碼嘅價值遠超一個嘅兩倍，所以利用偏差嘅玩家會落成組號碼。Thorp（1984）都作過同樣嘅比較。
漫畫小插曲
輪盤增長最優嘅注碼，係一個人人都已經知道嘅數字。
來源
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”