古怪嘅輪盤轉輪
有18、25、26、31、40、49、62、73或者105個格嘅轉輪。差唔多全部都可以用同一條規則計價：計派彩時唔計嘅格佔幾多。
如果派彩當莊家嘅格唔存在咁定，無論轉輪幾大，莊家優勢數學莊家優勢賭場平均喺每一注注碼入面留低嘅比例：歐式輪盤係2.70%。睇全文 →都係莊家格除以全部格。大部分古怪嘅轉輪都跟呢條規則。有趣嘅係打破規則嗰啲：派彩向下執整、獎賞局，或者一注留喺枱面幾轉。
一條規則用喺所有轉輪
歐式輪盤變種歐式輪盤單零轉輪、37個格、莊家優勢2.70%。係本站嘅標準模型。睇全文 →派1賠35，當個轉輪得36個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →咁。其實佢有37個，多出嗰個格就係2.70%嘅莊家優勢。同一條規則用喺任何轉輪都得：有N個號碼同Z個莊家格，落注n個號碼、派1賠(N − n)/n嘅注，莊家優勢係Z/(N + Z)。各種大細嘅轉輪都有人按呢條規則整過或者提出過，個表按價錢排好。表入面幾行亦講咗澳洲遊戲Royal Roulette嘅基本玩法：佢嘅號碼係2到K嘅牌，兩個莊家格係A同鬼牌，單張牌派1賠47。
大啲可以平啲
玩家見到62格嘅轉輪，會覺得更難中，就以為個遊戲更差。其實莊家優勢只係睇莊家格佔幾多。Super 62同美式轉輪一樣有兩個零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →，但佢哋係62個格入面嘅2個，唔係38個入面嘅2個，所以成本係3.23%，美式就係5.26%。Roulette 73有72個號碼同一個零號，成本會係1.37%，同法式一賠一注差唔多。喺細轉輪，規則就反過嚟。Bollman描述過一個18格嘅古董轉輪，有1到16，加0同00。按規則，每種注成本都會係2/18，即係11.11%：兩個莊家格喺細轉輪佔好大比例。
規則喺邊度唔再適用：執整
派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →一定要係合理嘅籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →金額，規則計出分數嗰陣，賭場就向下執整。100 To 1 Roulette嘅Avenue注包15個格，應該派1賠5⅔；佢派2賠11，莊家優勢就由4.76%升到7.14%。喺Super 62，有七個號碼有數字6（6、16、26、36、46、56、60），落注喺呢個數字派1賠7，莊家優勢就變成9.68%，係投注枱面設備投注枱面賭枱上面印住嘅落注格。又叫 table、felt、cloth。睇全文 →其餘注嘅三倍。Riverboat Roulette嘅White注包8個號碼，派2賠7；喺冇50仙籌碼嘅賭枱，$5嘅中注只派$17，唔係$17.50，莊家優勢就由5.26%升到7.37%。美式五號注嘅7.89%就係大家熟悉嘅同類例子。
規則喺邊度唔再適用：獎賞
Fast Action Roulette喺2020年喺濱海灣金沙推出，用一個真嘅四零轉輪，淨係咁成本就會係10%。每一轉都有十個Bonus號碼隨機亮起。單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →派1賠35；如果個號碼係Bonus號碼就1賠40；如果成排四個號碼都係Bonus就1賠80，成本因此降到6.65%。遊戲另外三種注貴得多。IGT嘅Double Bonus Spin喺美式轉輪加一個黃色Bonus格，闊度有一個半格；粒球設備球沿住球道、逆住轉子方向打出去嗰粒細球。現代嘅球係用仿象牙或者 Teflon 整，直徑18–21 mm。睇全文 →落喺嗰度，每注都有兩轉免費轉。我哋計出嚟，莊家優勢因此降到1.94%（單號注）到2.73%（一賠一注）之間，低過普通美式轉輪。Bollman（2021）為呢個遊戲列出3%到16%；佢嘅簡化公式有個代數錯，對一賠一注注一賠一注紅／黑、單／雙、大／細。18個號碼，派彩1:1。睇全文 →嚟講，就等於話免費轉輸嘅錢多過注碼，呢樣係冇可能嘅。
規則喺邊度唔再適用：留喺枱面嘅注
Riverboat Roulette（2012）將美式轉輪其中32個號碼加多一種顏色。白色標住每個零號周圍嘅四個格（1、2、9、10、13、14、27、28）。落注喺一個顏色組，如果佢其中一個號碼早過八個白色號碼之一開出，就中。白色號碼係「White Out」，會清走所有顏色注。其餘號碼都當和：注留喺枱面，兩轉之間可以收返或者加注。青綠色包三個號碼，派1賠2。按每注結算計，佢輸注碼嘅2/11，即係18.18%。每一轉就輸2/38，即係熟悉嘅5.26%，因為平均每注會留喺枱面38/11轉，大約3.5轉。
Thorp估得到嘅轉輪：Big Six
Big Six又叫幸運轉輪，係一個有54個槽嘅大型直立轉輪：24個派1賠1，15個派1賠2，七個1賠5，四個1賠10，兩個1賠20，另外兩個標誌槽派1賠40。冇零號；莊家靠派少啲攞佢嗰份，莊家優勢由1賠1槽嘅11.1%到標誌槽嘅24.1%。1961年，Thorp為佢整咗一部火柴盒咁大、用腳趾開關操作嘅預測器；1981年，佢用手錶計賭場轉輪轉一圈嘅時間，發現通常可以估中停點，誤差喺五個槽之內。如果轉輪轉咗之後仲接受落注，淨係落預測位附近嘅高派彩槽，回報大約係+211%。但係轉咗之後唔准落注，而且轉輪轉得慢、人人睇得到，遲落注好易畀人發現；Thorp寫過，呢個遊戲落注嘅人太少，遮唔住一注遲咗落嘅注。
點解好少流行得起
一個專業轉輪要幾千美元，格數唔尋常嘅轉輪仲要訂造。所以大部分新嘅輪盤遊戲都保留標準轉輪，再加啲注，所以副注嗰頁長過呢頁。19世紀美國嘅31格鷹轉輪，單一號碼成本12.90%，其餘全部9.68%，因為太貴而淘汰咗。第三個莊家格嘅諗法喺2016年用39格轉輪重現，成本係7.69%。
問題
單憑大細唔係。莊家優勢係莊家格嘅比例：73分之1平過37分之1。
Roulette 73，1.37%，不過佢係公開咗嘅設計，唔係你好可能搵到嘅賭枱。喺真係有提供畀玩家嘅轉輪入面，Super 62嘅3.23%排喺歐式同法式之後。
獎賞一定要有人畀錢，通常係削減基本派彩，或者另開一注莊家優勢好高嘅注。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
喺澳洲開發嘅Royal Roulette有50個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →：由2到K嘅48張牌，加一張A同一張鬼牌。單張牌1賠47，兩張1賠23，三張1賠15，四張1賠11，六張1賠7，八張1賠5，十二張1賠3，十六張1賠2，二十四張1賠1。呢啲派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →跟咩規則？每種注嘅成本係幾多？
睇答案
答案 覆蓋n張牌嘅注派1賠(48 − n)/n，所以每種注嘅成本都係2/50 = 4%。
攞幾種注驗吓條規則：47/1 = 47、36/12 = 3、32/16 = 2、24/24 = 1。九種注全部啱。條規則係當轉輪得48個格咁定價，所以A同鬼牌就係兩個莊家格，好似美式轉輪上嘅0同00。
50個格入面有兩個莊家格，莊家優勢係4%。「歐式」版本攞走鬼牌，派彩唔變：49個格入面有一個莊家格，莊家優勢係2.04%。
Super 62有一種注，係賭你揀嘅數字會唔會喺中嘅號碼入面出現。幫普通美式轉輪設計同樣嘅注。1到36嘅號碼入面，每個數字喺幾多個號碼出現？邊啲派彩可以維持平時嘅5.26%？
睇答案
答案 只有喺3個或者4個號碼出現嘅數字先有整齊嘅派彩（1賠11同1賠8）。數字1、2同3冇辦法用整數籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →公平派彩。
數吓啲號碼。數字1出現喺1、10到19、21同31：總共13個號碼。數字2都係出現喺13個號碼，數字3就係10個。數字4、5同6各出現喺四個號碼（4、14、24、34），7、8同9各出現喺三個。
覆蓋n個號碼嘅注，要維持美式莊家優勢，就要派1賠(36 − n)/n。四個號碼係1賠8，三個號碼係1賠11，兩個都係整數。13個號碼係23/13，大約1賠1.77；10個號碼係1賠2.6。將1.77向下取整做4賠7，呢注成本係5.92%；向上取整做1賠2，玩家反而有2.63%嘅優勢。將2.6向下取整做2賠5，成本係7.89%。
數字0就要揀：只計10、20同30，派1賠11，成本5.26%；加埋0同00就變咗五號注，派1賠6，成本7.89%，同籃子注注籃子注喺單零轉輪上面：用一個籌碼買0、1、2、3，派彩8:1。又叫頭四注、quatre premiers。睇全文 →一樣。
數字號碼按規則派得出莊家優勢1, 2131賠1.774賠75.92%3101賠2.62賠57.89%4, 5, 641賠81賠85.26%7, 8, 931賠111賠115.26%100 To 1 Roulette嘅轉輪有100個號碼同5個莊家符號，大部分注派1賠(100 − n)/n。佢嘅注覆蓋1、2、3、4、5、10、15、20或者50個格，分別派1賠100、1賠49、1賠32、1賠24、1賠19、1賠9、2賠11、1賠4同1賠1。單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →同覆蓋15個格嘅Avenue唔跟呢條規則。仲有邊種注唔跟，成本係幾多？
睇答案
答案 三格注：規則計出1賠32⅓，實際派1賠32，成本係5.71%而唔係4.76%。
用規則驗吓每個派彩：98/2 = 49、96/4 = 24、95/5 = 19、90/10 = 9、80/20 = 4同50/50 = 1，全部啱。三個格嘅話，規則係97/3 = 32⅓，冇任何籌碼派得出，所以向下取整做32。
呢注每105轉中3次，每次返33個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →（連注碼）：每落105個單位返3 × 33 = 99個單位，損失係6/105 = 5.71%。
已經發表嘅Roulette 73設計有72個號碼同一個零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →，每種注派1賠(72 − n)/n。佢24個灰色號碼可以用14個籌碼覆蓋：4個單號注同10個分注注分注兩個相連嘅號碼，派彩17:1。睇全文 →。呢個14個籌碼嘅注成本係幾多？
睇答案
答案 14個籌碼嘅1.37%，同呢個轉輪其他每種注一樣。
先用長啲嘅計法：單號注1賠71，分注1賠35。如果4個單號其中一個出，贏71，輸其餘13個籌碼：+58。如果20個分注號碼其中一個出：+35 − 13 = +22。其餘49個格就輸晒14個。按73轉平均計：4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14個單位，即係每個籌碼嘅1/73。
短啲嘅計法：期望值數學期望值長遠嚟講，每一注嘅平均結果。每一種標準歐式注都係注碼嘅−1/37。睇全文 →可以加埋。每個籌碼都係一注普通嘅注，各自輸自己嘅1/73，所以14個籌碼輸14/73。將幾注合埋一齊只會改變結果嘅分佈，從來唔會改變成本。
Super 62有60個號碼、0同00，按1賠(60 − n)/n派彩。佢嘅設計者仲畫咗有一個、三個同四個莊家格嘅版本。Alphabetic Roulette喺25個格上按1賠(24 − n)/n派彩，另外有個Y同Z各佔一個格嘅變種。幫全部五種定價。
睇答案
答案 一到四個零號：1.64%、3.23%、4.76%同6.25%。Y同Z分開嘅Alphabetic：7.69%。
呢啲版本全部派彩唔變，只係改變莊家格嘅數目，所以莊家優勢就係莊家格數除以總格數。
一個零號、61個格：1/61 = 1.64%。兩個、62個格：2/62 = 3.23%。三個、63個格：3/63 = 4.76%。四個、64個格：4/64 = 6.25%。每加一個零號，成本大約加一個半百分點。
Alphabetic按24個字母派彩。Y同Z共用一個格，莊家喺25個入面佔1個，即係4%。Y同Z分開，莊家喺26個入面佔2個，即係7.69%，同三零轉輪一樣。將一個格拆做兩個，成本差唔多翻倍。
轉輪格莊家格莊家優勢60個號碼，一個零號6111.64%Super 626223.23%60個號碼，三個零號6334.76%Super 646446.25%Alphabetic2514.00%Alphabetic，Y同Z分開2627.69%有個古董轉輪得18個格：1到16、0同00。單數同0係紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →，雙數同00係黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →，16個號碼排喺4乘4嘅投注枱面設備投注枱面賭枱上面印住嘅落注格。又叫 table、felt、cloth。睇全文 →上。設計一個令每種注莊家優勢都一樣嘅派彩表錢派彩表列出每種注或者結果派幾多嘅表。喺機同副注入面，莊家優勢就係喺度定。睇全文 →。仲有，0明明係紅色，點解佢一定要令紅注輸？
睇答案
答案 派1賠(16 − n)/n：單一號碼1賠15、兩個號碼1賠7、四個1賠3、八個1賠1。每種注成本都係11.11%。如果0令紅注中，紅就會變成公平嘅注。
當0同00唔存在咁幫轉輪定價。覆蓋n個號碼嘅注每18次中n次，派1賠(16 − n)/n，所以每落18個單位返16個單位（連注碼）。每種注嘅成本都係2/18，即係11.11%。
投注枱面上嘅自然注都計到整數：單一號碼1賠15，兩個相鄰號碼1賠7，一行或者一欄注欄注投注枱面上面打直一欄嘅十二個號碼，派彩2:1。睇全文 →四個號碼1賠3，兩行，或者單、雙、細、大嘅八個號碼1賠1。三號注要1賠4⅓；向下取整做1賠4，成本就係16.67%。
紅覆蓋八個單數。如果0雖然係紅色都令紅注中，紅就會以1賠1覆蓋18個格入面嘅9個：即係一個冇任何優勢嘅公平遊戲數學公平遊戲邊一方都冇優勢嘅遊戲：每一注嘅期望值都係零。睇全文 →。莊家格只有令佢自己嗰注以外嘅每一注都輸，先會帶嚟莊家優勢。
漫畫小插曲
先數莊家格，再睇吓有冇執整。
來源
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”