輸清光風險
喺達到目標之前輸清成筆本錢嘅概率。
一賠一注嘅輸清光風險跟賭徒破產公式計。本錢$500、每注$10、目標$600，你大約57%嘅時間會達到目標，其餘時間就輸清。
問題
你有a個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →嘅本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →，想去到a + b個單位，每次落一個單位喺一賠一注注一賠一注紅／黑、單／雙、大／細。18個號碼，派彩1:1。睇全文 →，贏嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係p = 18/37，輸嘅概率係q = 19/37。你喺跌到零之前達到目標嘅機會有幾大？答案由 Pascal、Fermat 同 Huygens 喺1650年代計出嚟，係概率論最古老嘅結果之一。
賭徒破產公式
P(達到目標) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)。輸清光風險數學輸清光風險去到目標或者轉數之前，就已經輸晒全部本錢嘅概率。睇全文 →就係一減佢。q/p = 19/18 ≈ 1.0556，呢個比例隨單位數目以指數增長，所以條公式對細單位懲罰好重：要落越多注先達到目標，沿路就要畀越多次嗰2.70%嘅過路費。
點樣解讀
單位越細越傷。用$10一注想將$500變雙倍，成功率係6%；一注過落$500，成功率係48.6%。進取玩法，即係落少啲但大啲嘅注，喺期望值係負數嘅遊戲入面可以令達到目標嘅機會最大，因為佢令莊家優勢套用落你身上嘅次數最少。佢亦會令你遭遇嘅方差數學方差量度啲結果喺期望值周圍散得幾開嘅數。單號就高，一賠一注就低。睇全文 →最大，而且好快就玩完一晚。呢條定理叫「進取玩法係最優」，由 Dubins 同 Savage 喺1965年證明。
問題喺邊度開始
呢個問題比輪盤更古老。1656年，Pascal 畀咗 Fermat 一條謎題：兩個玩家擲三粒骰，每人一開始有12個籌碼；擲出11，一個籌碼就向一邊移，擲出14就向另一邊移。兩個人都解到，而 Huygens 透過數學家 Pierre de Carcavi 嘅一封信聽到呢條題，喺1657年將佢印成第一本概率書嘅第五題，有答案但冇證明。十一有27種擲法，十四只有15種，所以每14次有9次籌碼係向第一個玩家嗰邊移，套入上面嘅公式，每人12個籌碼，佢贏晒嘅機會大約係輸晒嘅1,157倍。2.70%嘅莊家優勢細好多，但同一條公式顯示咗佢喺好多注之後會點。
一次真實嘅進取落注
2004年4月，英國後生仔 Ashley Revell 賣咗差唔多所有嘢，連衫都賣埋，帶住$135,300去拉斯維加斯嘅 Plaza。落咗幾注細注之後，佢將成筆錢一次過落晒喺紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →。粒球設備球沿住球道、逆住轉子方向打出去嗰粒細球。現代嘅球係用仿象牙或者 Teflon 整，直徑18–21 mm。睇全文 →落咗紅7，佢帶住$270,600走。喺雙零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →轉輪上，嗰一轉係47.37%嘅機會，平均嚟講令佢蝕$7,121，即係一注5.26%嘅莊家優勢。如果分開每注$10落，同一個目標差唔多冇希望。進取玩法冇令個注變好；佢只係令佢盡量短。
冇目標嘅輸清光風險
如果你只係一直玩到輸清，或者N轉之後停，問題就變成「我嘅本錢喺N轉之內掂到零嘅機會係幾多？」。一般嘅N冇封閉公式，但本網站嘅模擬器會計：$500本錢每轉$10落紅，100轉之內差唔多永遠唔會輸清（低過1%），500轉大約9%嘅時間會輸清，5,000轉就大約95%。冇收手規則嘅話，概率會趨向100%，呢個就係長期版本嘅莊家優勢數學莊家優勢賭場平均喺每一注注碼入面留低嘅比例：歐式輪盤係2.70%。睇全文 →。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$350
撐幾耐，同埋可以贏到幾多
另外兩個經典結果答到玩家真正會問嘅問題。冇目標嘅話，喺歐式轉輪上固定落一賠一注，每一個單位嘅本錢平均撐37轉，美式就係19轉，因為每轉平均攞走1/37個單位（美式轉輪係1/19）：100個單位平均撐3,700轉，雖然呢類場有一半喺3,134轉之內就完（睇吓「玩一場有幾長、使幾多錢」）。而無論本錢幾大，喺歐式轉輪上曾經贏住k個單位嘅機會係(18/19)ᵏ。一個單位係95%，十個係58%，但冇任何本錢，無論幾深，可以令你有一半機會曾經贏住13個單位；美式轉輪嘅機會係(9/10)ᵏ，去到7個單位就跌到一半以下。
有一半機會所需嘅本錢
將問題倒轉：你要帶幾多錢，先至有最少一半機會喺輸清之前贏到某個數？如果係細數，唔使好多。數目大啲，所需本錢就急升，而過咗某一點，幾多本錢都唔夠，因為就算本錢無限，曾經贏到咁多嘅機會都唔夠一半。Taylor（2021年）換咗個講法：喺美式轉輪上，想有一半機會去到100個單位，你要由94個開始，即係冒94個嘅險去贏6個。喺歐式轉輪上你要88個。
實際教訓
諗清楚你想做乜。如果目標係贏一個特定數，就落大注、落少啲。如果目標係玩耐一晚，就落細注，接受莊家優勢會喺一大筆總投注額錢總投注額一場或者一段時間入面總共落咗幾多錢，包括用贏返嚟嘅錢再落嘅注。又叫 handle、action。睇全文 →入面攞走佢嗰2.70%。如果兩樣都想要，總有一樣要讓，通常係目標。
公式
問題
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
你有$100，想變成$1,000，淨係落紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →。方案一：每次落$1。方案二：每次落晒全部本錢，直到超過$500，之後只落啱啱夠去到$1,000嘅數。邊個方案好啲，好幾多？
睇答案
答案 方案二，而且好好多。佢大約有9.0%機會去到$1,000，接近公平情況嘅10%。方案一大約10²²次先成功7次。
喺公平遊戲數學公平遊戲邊一方都冇優勢嘅遊戲：每一注嘅期望值都係零。睇全文 →入面，無論點落注，由$100去到$1,000嘅概率都係十分之一，因為你本錢嘅平均值維持喺$100。
莊家優勢喺每一注攞走2.70%，所以總投注額愈少，就愈接近十分之一。方案二喺幾注之內就決定結果：$100變$200、$400、$800，跟住落$200就夠。佢嘅成功概率大約9.0%。方案一要幾千注先完，每注好細嘅莊家優勢累積落嚟，差唔多注定輸清光。
呢個係Dubins–Savage結果最簡單嘅形式（Epstein，2013）：喺對莊家有利嘅遊戲，要落幾多就落幾多，盡量少落幾次。
你有$500，想變成$1,000，一到手即刻停。你揀一種注，一直重複，直到中一次或者錢輸晒。邊種成功概率最高？
睇答案
答案 喺紅一次過落$500：48.6%。每個將錢分散落細注嘅方案都差啲。
每注嘅注碼都揀到中一次就夠：單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →落$30贏$1,050，分注注分注兩個相連嘅號碼，派彩17:1。睇全文 →落$60贏$1,020，如此類推。跟住計吓錢輸晒之前起碼中一注嘅概率。十六個$30單號注全部唔中嘅概率係(36/37)¹⁶ = 64.5%，所以去到$1,000嘅概率係35.5%。
表入面列出每一種注。紅最好，因為一注就搞掂，莊家優勢只係喺$500上面畀一次。六線注注六線注相連兩行嘅六個號碼，派彩5:1。法文：sixain。睇全文 →第二，因為只需要三注。單一個打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →最差，係12/37嘅機會；就算以$250做單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →一直落到有$1,000或以上，打注嘅成功率都只係46.4%。
Bollman（2024）幫美式轉輪整咗同樣嘅表。佢表入面打注嗰行有錯：應該係12/38 = 31.6%。
注注碼 × 落幾多次去到$1,000嘅概率單號$30 × 1635.5%分注$60 × 835.9%街注$90 × 534.5%角注$125 × 436.7%六線注$166, $166, $16841.2%打注$500 × 132.4%紅$500 × 148.6%你每轉喺紅落一個單位，用一筆永遠用唔晒嘅本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →。第一轉之後，你贏緊一個單位或者輸緊一個單位。你最終返到啱啱打和嘅概率係幾多？
睇答案
答案 37分之36，即係97.3%。美式轉輪係38分之36，即係94.7%。
如果第一轉中（37次有18次），你贏緊一個單位，而莊家優勢會將每一場冇盡頭嘅玩法往下拖，所以遲早會返到打和：呢個係必然。如果輸（37次有19次），你就要追返一個單位，而最終追得返一個單位嘅概率係18/19（睇上面個表）。
加埋：18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37。
一般嚟講，概率係1減每轉贏同輸嘅概率之差：歐式轉輪係1 − 1/37，美式係1 − 2/38。喺冇零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →嘅遊戲，差係零，概率係1：累計輸贏一定會返到打和。Epstein（2013）畀咗通用規則。
Pascal 1656年嘅問題：兩個玩家擲三粒骰仔，各自由12個籌碼開始。每擲出11，就有一個籌碼移畀第一個玩家；每擲出14，就移一個畀第二個；其他點數唔計。第一個玩家贏晒24個嘅概率有幾高？如果改為你每轉喺紅落1個單位，由朋友做莊，雙方各有12個單位，贏晒24個單位嘅概率有幾高？
睇答案
答案 第一個玩家大約1,158次贏1,157次。你落紅嘅話，贏晒24個單位嘅概率得大約34%。
三粒骰仔有27種方法擲出11、15種方法擲出14，所以每次移動嘅籌碼42次有27次係畀第一個玩家，即係14次有9次。雙方都由12開始，贏晒嘅概率係1/(1 + r¹²)，r係對方概率同自己概率嘅比率。
對第一個玩家，r = 5/9，(5/9)¹² ≈ 0.00086，所以概率大約係0.99914：勝算係9¹²比5¹²，即係282,429,536,481比244,140,625，大約1,157比1。Huygens喺1657年刊出嘅正正係呢啲數字。
落紅嘅話，因為有零號，r = 19/18，(19/18)¹² ≈ 1.913：你嘅概率係1/2.913 ≈ 34.3%。擲銀仔就係50%。每注2.70%嘅莊家優勢，經過要落嘅好多注累積落嚟，變成16個百分點嘅差距。
漫畫小插曲
進取玩法係最優。亦都好快玩完。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de。1656年9月28日寫畀Huygens嘅信，講Pascal問Fermat嘅問題。
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”