長期收斂：輪盤入面嘅大數定律
平均值點樣慢慢定落去−2.70%，同埋點解要耐過直覺所估。
隨住轉數累積，每轉平均損失會收斂到−1/37，散佈以1/√N咁縮細。落紅1,000轉之後，平均值通常喺期望值±3%之內。
大數定律
獨立嘅注嘅累計平均值會趨向期望值數學期望值長遠嚟講，每一注嘅平均結果。每一種標準歐式注都係注碼嘅−1/37。睇全文 →。每次一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →、玩N轉一賠一注之後，每轉平均結果嘅期望係−1/37，標準差數學標準差方差嘅平方根；一個結果通常離期望值有幾遠。睇全文 →係1/√N。N = 100時，散佈係注碼嘅10%，差唔多係2.7%訊號嘅四倍。N = 1,000時係3.2%，同訊號差唔多。N = 10,000時係1%，莊家優勢就清楚睇到。佢喺一場入面睇唔到，喺一年入面就一清二楚。
乜嘢會收斂，乜嘢唔會
每轉平均值會收斂。總數唔會：N越大，佢就離零越遠，預期大約係N嘅2.7%，圍繞嗰度嘅散佈係√N。一個每轉$10玩咗10,000轉嘅玩家，預期輸咗$2,700，上下差$1,000左右。紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →嘅累計比例早就定咗喺48.65%附近；累計餘額就冇喺任何地方定落嚟。
- 第10百分位數 −$440
- 第25百分位數 −$280
- 中位數 −$140
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$140
點解直覺會錯
大家以為莊家優勢好快會出現，因為2.70%聽落好多；又以為長龍會「拉平」，因為大數定律數學大數定律試嘅次數越多，獨立結果嘅平均值就越收斂到期望值。睇全文 →話平均值會收斂。兩個直覺都估錯咗規模：同一轉嘅方差數學方差量度啲結果喺期望值周圍散得幾開嘅數。單號就高，一賠一注就低。睇全文 →比起嚟，莊家優勢好細（σ = 1個單位，EV = 0.027），所以要(1/0.027)² ≈ 1,400轉先去到一個 sigma 睇得到。而平均值收斂完全唔會將總數拉返嚟；佢只係稀釋咗過去嘅波動。
其他注嘅收斂
單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →嘅 σ = 5.84，所以同一條計數得出(5.84/0.027)² ≈ 47,000轉，莊家優勢先去到一個 sigma。一個落單號注嘅玩家可以玩幾年，自己嘅紀錄入面都分唔出莊家優勢同運氣，但畀嘅仍然係同落紅嘅玩家一樣嘅2.70%，而落紅嘅幾個星期就睇到。
對測試系統嘅意義
任何聲稱系統有效嘅人，都應該拎得出10,000轉或以上、有紀錄嘅正數平均值。喺虛無假設下，一賠一注1,000轉得到正數平均值係五分之一嘅事件；100轉就差唔多係掟銀仔。本網站嘅模擬器一秒就行得晒2,000場你揀嘅長度，證據多過任何用家分享。
公式
問題
你玩得越耐，再次贏住嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →就越趨向零。總數會冇底咁向下飄。
唔係。佢代表過去嘅波動喺一個更大嘅樣本入面佔嘅比例越嚟越細。
一賠一注要大約10,000轉，莊家優勢先清楚睇到。單號注就大約50,000轉。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
兩個朋友玩20局公平遊戲數學公平遊戲邊一方都冇優勢嘅遊戲：每一注嘅期望值都係零。睇全文 →，擲銀仔，或者落紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →對黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →而零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →退返注碼，記低累積分數。數吓每個人領先咗幾多局（打和就算頭先領先嗰個）。邊樣機會大啲：領先平分10局對10局，定係一個朋友成20局都領先？
睇答案
答案 一個朋友成20局都領先嘅機會大好多：唔理係邊個，加埋係35.2%，而平分10對10只係6.1%。
公平嘅累積分數喺2k局之後打和嘅概率係u = C(2k, k)/2²ᵏ：10局之後係0.246，20局之後係0.176。經典結果「反正弦定律」話，喺2n局入面，一個指定朋友啱啱領先2k局嘅概率係u(2k) × u(2n − 2k)。
成20局都領先：每個朋友係u(20) × u(0) = 0.176，任何一個係35.2%。平分：u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%，係所有分法入面最冇可能嘅。
所以喺公平遊戲入面，領先好少易手。成晚一直贏緊或者一直輸緊嘅玩家，冇見到任何唔尋常嘅嘢，亦都唔代表個轉輪或者技術有任何問題。Epstein（2013）為長啲嘅遊戲畀咗同一條規律：有一半機會，好彩嗰個喺超過85%嘅遊戲時間都係領先。
漫畫小插曲
平均值會收斂。總數就只係越走越遠。
來源
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.