輪盤出長龍嘅概率
同一顏色長龍好常見。對下一轉嚟講亦都冇任何意思。
連開五次紅：2.7%。十次：0.074%。一場200轉入面，同一顏色連開六次出現嘅機會大過唔出現。
連輸有幾常見
喺單零轉輪落一賠一注，每37轉有19轉會輸。每一行係指定嘅一段轉全部輸嘅概率，同埋一個每輸一次就加倍嘅馬丁格爾玩家，到嗰陣已經輸咗幾多。
| 連輸次數 | 概率 | 大約幾多次有1次 | 到而家輸咗 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
概率係19/37自己乘自己，每輸一次乘一次，由指定嘅某一轉開始計。一場玩得耐，可以開始呢種連輸嘅轉有好多個，所以成晚計落嚟，出現嘅機會遠高過單獨一行顯示嘅數字。
單一條長龍
跟住k轉全部開紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係(18/37)ᵏ。兩次：23.7%。五次：2.7%。十次：0.074%，大約1,350分之1。二十次：180萬分之1。二十六次，即係蒙地卡羅嘅紀錄：1.37億分之1。呢啲係一條特定長龍喺一個特定轉開始嘅概率，而呢個問題差唔多冇人真係想問。
喺一場入面
大家真正想問嘅係「我呢場入面會唔會喺某個位置出現一條k次嘅長龍？」，答案遠大過(18/37)ᵏ，因為一場200轉有差唔多200個位置可以開始一條長龍。同一顏色（紅或者黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →）連開六次或以上，喺一場200轉入面大約94%嘅時間會出現；八次或以上大約47%；十次或以上大約14%。預先指定顏色嘅話，機會就跌到大約75%、27%同7%。坐成晚嘅玩家，晚晚都會見到長龍。
點解馬丁格爾要理
每個輸咗加注嘅加注系統策略加注系統任何跟之前結果改變注碼嘅規則。輸咗加注係負向，贏咗加注係正向。睇全文 →都有一個會爆嘅長度：底注$10、枱限$500就係連輸六次，斐波那契策略斐波那契跟住1、1、2、3、5、8、13…呢個數列嘅加注系統：輸咗行前一步，贏咗退後兩步。睇全文 →係十次，打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →三倍加注係五次。一賠一注連輸六次嘅概率係每次嘗試(19/37)⁶ ≈ 1.8%，一場200轉大概有100次嘗試，所以呢個長度嘅場大約每五場有四場會爆。輪盤長龍嘅概率，就係懸崖唔罕見嘅原因。
熱門同冷門號碼
同一套數學都適用於單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →。300轉入面每個號碼嘅預期次數係8.1次；標準差數學標準差方差嘅平方根；一個結果通常離期望值有幾遠。睇全文 →大約係2.8。單靠運氣，每次都會有某個號碼中15次，某個號碼中2次。結果顯示板標出嘅「熱門」號碼，標出嘅其實係常態分佈嘅頂部。實驗室會解釋要幾多轉，一個熱門號碼迷思熱門號碼最近出得多過預期嘅號碼。喺公平嘅轉輪上面，佢乜都預測唔到。睇全文 →先有意思（幾千轉，而且要喺同一個認得出嘅轉輪上）。
獨立性就係重點
連開十次紅唔會令黑更大機會，亦唔會令紅更大機會。兩個都係18/37。長龍係隨機序列嘅特性，冇長龍先值得懷疑：一個200轉、冇一條長龍超過四次嘅序列，比一個有連開十二次嘅序列更加似畀人做過手腳。
公式
問題
最出名嘅係1913年8月18日蒙地卡羅嘅連開26次黑。1943年美國一間賭場報道過連開32次紅。考慮到賭場轉咗幾多次，兩個都同運氣吻合。
點都係18/37。照你個計劃落，或者乜都唔落。
唔係。偏差嘅表現係喺幾千轉入面某啲格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →中得多啲，唔係某個顏色連開。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
歐式轉輪平均要轉幾多次，37個號碼先會每個都起碼出過一次？
睇答案
答案 平均大約155轉；中位數係147。
逐個計每個新號碼要等幾耐。第一轉一定出新號碼。見過1個號碼之後，37個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →入面有36個係新嘅，所以下一個新號碼平均要等37/36轉。見過k個號碼之後，平均要等37/(37 − k)轉。
將等候時間加埋：37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5轉。
大部分時間都係喺最後階段等。單係最後一個號碼平均就要37轉，最後五個大約要85轉。喺美式轉輪上，同樣嘅加法大約得出161。呢個係優惠券收集問題；用標準計法都得出同一個平均值。
歐式轉輪轉37次，即係每個格一次咁多，預期會見到幾多個唔同號碼？
睇答案
答案 大約23.6個。大約三分之一嘅號碼（大約13個）完全唔會出。
攞一個號碼，例如17。每轉佢有36/37嘅概率唔出，所以37轉都唔出嘅概率係(36/37)³⁷ ≈ 0.363。
每個號碼嘅概率一樣，所以平均缺咗37 × 0.363 ≈ 13.4個號碼，而37 − 13.4 ≈ 23.6個有出，其中好多出咗兩次或以上。
輪盤玩家叫呢個做「三分之一法則」。佢唔係法則，只係號碼重複出現嘅算術：喺一段同轉輪格數一樣長嘅序列入面，大約三分之一嘅號碼會缺席，公平轉輪係咁，其他轉輪都係。38格嘅轉輪比例都係(37/38)³⁸ ≈ 0.363；格好多嘅轉輪就趨近1/e ≈ 0.368。
有個朋友畀你睇兩張清單，每張列咗50個顏色（紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →或者黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →），話係嚟自一個攞走咗零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →嘅轉輪。一張轉色25次，最長一條龍係六次。另一張轉色35次，長龍從來冇超過三次。邊張係作出嚟嘅？
睇答案
答案 第二張。真嘅清單大約轉色24或者25次。轉色35次嘅清單大約每500張先有一張，冇長過三次長龍嘅清單大約每100張有兩張。
每個新顏色都係一半機會重複上一個、一半機會轉色，所以49次轉色機會平均有24.5次轉色，上下大約3.5。三十五比平均高出三個咁嘅幅度；公平轉輪大約每500張清單先有一張轉色咁多。
長龍都講緊同一件事。大約98%嘅真實50項清單有長度四或以上嘅長龍，最長嘅長龍最常見係五或者六。
叫人作一張隨機清單，佢哋會轉色轉得太密，因為四或者五次長龍喺佢哋眼中好似有規律。Taylor（2021）喺學生作出嚟嘅擲銀仔紀錄度指出同樣嘅破綻：真正嘅隨機比人預期更常出長龍。
一本賭場故事集講一個玩家嘅號碼連出五次，仲話係紀錄。喺歐式轉輪上呢個有幾罕見？一間有20張賭枱、每張每個鐘轉40次、日夜開工嘅賭場，喺某一處應該幾耐發生一次？
睇答案
答案 預先指定嘅號碼連出五次：6,900萬分之1。任何一個號碼第一次出現之後再連出四次：187萬分之1。呢間賭場一年大約轉700萬次，所以每年應該有三到四次連出五次。
指定嘅號碼每轉有1/37嘅概率出，所以連出五次嘅概率係(1/37)⁵ = 69,343,957分之1。但冇人預先指定號碼。無論第一次出咩，之後四次都要重複佢：(1/37)⁴ = 1,874,161分之1。
20張賭枱 × 每個鐘40轉 × 24個鐘 × 365日 = 每年7,008,000轉。每一轉都可以係一條長龍嘅開始，所以賭場預期每年有7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7次連出五次。
冇呢類官方紀錄，亦都唔需要：喺一張賭枱好罕見嘅事，放喺成間賭場就係家常便飯，而故事講嘅正正係發生咗嗰件事嘅嗰張枱。Goldman（2007）嘅故事設定喺雙零轉輪，對應嘅數字係7,900萬分之1同209萬分之1。
漫畫小插曲
長龍就係隨機嘅樣。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.