輪盤莊家優勢
平均嚟講，賭場喺每注入面留低嘅比例。
歐式輪盤：每種標準注都係2.70%，因為派彩當成有36個格咁計，但實際有37個。
推導
單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →嘅公平賠率應該係1賠36，因為每一種贏法對應36種輸法。賭場派1賠35。少咗嗰一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →，攤落37個機會均等嘅結果，就係每轉注碼嘅1/37 = 2.70%。每一個派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →都有同樣嘅差額，因為每個派彩都用36/n − 1嘅規則：分注注分注兩個相連嘅號碼，派彩17:1。睇全文 →派17而唔係17.5，打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →派2而唔係2.083，紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →派1而唔係1.056。每次贏嘅差額永遠係1/n個單位，每轉贏n/37次，所以每轉永遠都係1/37。
莊家優勢同留存率
莊家優勢係每落一個單位嘅預期損失數學預期損失期望值乘總投注額；即係一場或者一段時間入面平均輸嘅錢。睇全文 →：每轉2.70%。留存率錢留存率玩家帶上枱嘅錢入面，賭場真正留低嘅比例。因為贏咗嘅錢會再落注，所以高過莊家優勢。睇全文 →係賭場實際留低你帶上枱嘅錢嘅比例，佢高好多，因為你會將贏返嚟嘅錢再落注。$100換籌碼賭枱換籌碼喺賭枱用現金換籌碼。要喺兩轉之間做，將現金放喺枱面，唔好直接遞畀荷官。睇全文 →，每次落$10，玩200轉，總投注額已經係$2,000，畀咗大約$54嘅莊家優勢；嗰次換籌碼嘅留存率係54%。賭場報嘅係留存率；玩家應該用莊家優勢嚟諗。
點解每種注嘅莊家優勢都一樣
呢個係設計出嚟嘅，唔係巧合。36/n − 1嘅規則喺18世紀已經定咗，之後拎走雙零變種雙零美式轉輪嘅00格。有咗佢，莊家優勢由2.70%升到5.26%。睇全文 →嗰陣冇郁過派彩。如果派彩按37個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →計得公平，單號注就會派1賠36，賭場就冇收入。統一嘅莊家優勢好方便：冇一種輪盤注比另一種係「笨人注」，唯一例外係美式嘅五號注，7.89%。
輪盤嘅莊家優勢唔係乜嘢
佢唔係輸一場嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →；大部分短場都係由方差數學方差量度啲結果喺期望值周圍散得幾開嘅數。單號就高，一賠一注就低。睇全文 →決定，100轉一賠一注嘅場大約42%會贏住收場。佢唔係每場嘅收費；佢跟總投注額錢總投注額一場或者一段時間入面總共落咗幾多錢，包括用贏返嚟嘅錢再落嘅注。又叫 handle、action。睇全文 →增減，所以落得多嘅加注系統策略加注系統任何跟之前結果改變注碼嘅規則。輸咗加注係負向，贏咗加注係正向。睇全文 →畀得多。佢亦唔係可以靠落注模式稀釋嘅嘢，因為同時落嘅注嘅莊家優勢會按注碼比例加埋。
換成錢
每落$1,000，歐式輪盤變種歐式輪盤單零轉輪、37個格、莊家優勢2.70%。係本站嘅標準模型。睇全文 →嘅預期損失係$27.03，美式係$52.63，有la partage規則La Partage（還一半規則）法式規則：開零號嗰陣，一賠一注會退返一半注碼。令呢啲注嘅莊家優勢減半到1.35%。睇全文 →嘅一賠一注注一賠一注紅／黑、單／雙、大／細。18個號碼，派彩1:1。睇全文 →係$13.51。一個熟客每晚落$500，一星期兩晚，玩一年，總投注額係$52,000，喺歐式轉輪上畀咗大約$1,400嘅莊家優勢。呢個數字每轉好細，但每年都冇停過。
每轉定每次結算
幾乎每一種輪盤注都係一轉就結算，所以每轉嘅莊家優勢同每注嘅莊家優勢係同一個數。一種可以打和、留喺投注枱面設備投注枱面賭枱上面印住嘅落注格。又叫 table、felt、cloth。睇全文 →上嘅注就有兩個數。Riverboat Roulette 嘅藍綠色注覆蓋美式轉輪嘅3個號碼，如果其中一個早過8個白色號碼其中一個出現，就派1賠2，其他情況就打和。每次結算佢輸注碼嘅2/11，即係18.18%。每轉佢輸2/38，即係5.26%，因為平均嚟講一注會留喺枱面38/11轉，大約3.5轉。兩個數都啱。每轉嘅數字用嚟同枱上其他注比較，亦決定一個鐘要畀幾多錢；每次結算嘅數字就話你知注碼最後結算時有幾多返嚟。
當賭場定錯價
呢頁每一個莊家優勢都嚟自賭場通常都計啱嘅數學。但有時佢哋計錯。1994年10月，密西西比州 Biloxi 嘅 Grand Casino 為三粒骰總數係4開出1賠80，17都一樣。三粒骰有216種跌法，只有3種加埋係4，所以每落一個單位會返81 × 3/216 = 1.125：玩家有12.5%嘅優勢。玩家發現咗。賭場一日輸咗大約$180,000，停咗呢注，之後以1賠60重開，咁同樣216分之3嘅機會就變成賭場有15.3%嘅優勢。Hunacek（2025）引用 Bollman 講咗呢個故事。輪盤嘅標準派彩太簡單，唔會咁樣計錯；佢啲少見嘅副注注副注附喺主遊戲上面、可以自己揀買唔買嘅額外注，通常係買長龍、獎賞事件或者彩池。差唔多一定貴過標準注。睇全文 →先值得你計一計。
其他賭枱遊戲嘅副注
Bollman（2021）將廿一點、百家樂、Craps 同輪盤嘅主注，同同一張枱上常見嘅副注擺埋一齊比較。頭三種遊戲嘅副注都貴過主注，好多時貴幾倍。例外係表入面最後嗰種遊戲：美式輪盤變種美式輪盤有0同00、總共38個格嘅轉輪，莊家優勢係5.26%。唔係本站預設嘅模型。睇全文 →主注嘅莊家優勢係5.26%，高到 Colors 或者 WINGO 呢類副注反而可能平啲。
公式
問題
唔係。係你落嘅注碼嘅2.70%。同一筆錢再落一次，就再計多一次。
唔會。佢係一個比例。以金額計嘅預期損失就會跟注碼大細變。
用莊家優勢嚟量度，所有標準歐式注都一樣；分別只係幾耐贏一次同派幾多。有 la partage 嘅話，一賠一注係其他注嘅一半。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
喺歐式轉輪上，單號注注單號一個號碼，派彩35:1。睇全文 →同落紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →嘅成本都係2.70%，雖然一個得一個號碼，另一個覆蓋十八個。點解每種注嘅莊家優勢數學莊家優勢賭場平均喺每一注注碼入面留低嘅比例：歐式輪盤係2.70%。睇全文 →都一樣？
睇答案
答案 每種派彩錢派彩中咗嘅注會畀返你幾多錢，用「1賠X」表示，另外再退返注碼。睇全文 →都係當零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →唔存在咁定，所以無論覆蓋幾多個號碼，每種注每37轉都會輸一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →。
攞一注覆蓋n個號碼嘅注做例子。佢派1賠(36 − n)/n。37轉入面，平均中n次，輸37 − n次。
中嘅時候贏返n × (36 − n)/n = 36 − n個單位。輸嘅時候蝕37 − n個單位。相差就係每37轉−1個單位，而n消咗：單號注、角注注角注投注枱面上面共用一隻角嘅四個號碼，派彩8:1。睇全文 →定係打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →，結果都一樣。37轉輸一個單位，即係2.70%。
如果轉輪有N個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →，同一條數計出(36 − N)/N，所以美式轉輪係−2/38 = 5.26%。唯一打破呢個規律嘅係美式五號注：按規則應該派1賠6.2，實際只派1賠6，成本係7.89%。
Keno呢種彩票式遊戲會留起落注額嘅25%或者更多。如果賭場喺輪盤轉輪上加零號，但派彩唔變，要加幾多個零號，輪盤先會同Keno一樣咁貴？
睇答案
答案 十二個零號：一個48格嘅轉輪。
有z個零號，轉輪就有36 + z個格，而派彩仍然當得36個格。按上一題嘅規則，每種注每36 + z轉輸z個單位，所以莊家優勢係z/(36 + z)。
設佢等於四分之一：4z = 36 + z，所以z = 12。48格嘅轉輪有十二個零號，成本就係25%。
拉斯維加斯大道嘅三零轉輪，係大部分玩家會遇到最貴嘅輪盤，而佢嘅零號只係呢個數目嘅四分之一。
零號格莊家優勢1372.70%2385.26%3397.69%44010.00%124825.00%Massachusetts Lottery喺2023年推出一個有36個號碼、冇零號嘅轉輪。單一號碼每1蚊返25（連注碼），紅、黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →、單或者雙每2蚊返3（連注碼）。冇零號，佢係咪平過輪盤？
睇答案
答案 唔係，貴好多：號碼注係30.56%，紅或者黑係25%，歐式轉輪就係2.70%。
「返」包埋注碼。$1號碼注平均每36次開獎返$25一次：落$36返$25，即係每$36輸$11，30.56%。
落$2喺紅，一半機會返$3：每落$4返$3，輸25%。
零號只係定價嘅其中一個方法。輪盤當有36個格咁派彩，再加第37個；呢個轉輪有36個格，只係派少啲。Bollman（2024）將佢出做練習題。
有間賭場想為1到36入面十一個質數數學質數大過1、淨係除得盡1同自己嘅整數：2、3、5、7、11、13等等。睇全文 →（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29同31）設一種新注。要派幾多，成本先會同歐式轉輪其他注一樣係2.70%？如果派1賠2，成本係幾多？
睇答案
答案 11賠25，大約1賠2.27。派1賠2嘅話，成本係10.81%。
用第一題嘅規則：覆蓋n個號碼嘅注派1賠(36 − n)/n。n = 11嘅話，即係1賠25/11，呢個派彩好唔方便，因為一個$10籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →會贏$22.73。
派1賠2，$1一注喺37轉入面有11轉贏$2，其餘26轉每轉輸$1：每37轉22 − 26 = −4個單位，即係10.81%。
所以輪盤先至有覆蓋1、2、3、4、6、12同18個號碼嘅注：36可以畀佢哋全部整除，公平派彩就係整數。Taylor（2021）出呢條練習題用咗十個質數；其實有十一個。
漫畫小插曲
每注、每種注、每一轉，都係1/37。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.