問題：生日轉輪
要轉幾多次，先有某個號碼重複出現？遠少過大部分人估嘅。
37個格設備格轉子上面37個有號碼嘅格之一。又叫 slot、cup。睇全文 →轉輪上嘅生日問題：只係轉咗8轉，某個號碼已經出咗兩次嘅機會就超過一半。玩家將重複當成規律；其實佢哋係公平轉輪嘅預期表現。
問題
轉一個公平嘅歐式轉輪。要轉幾多次，最少有兩轉出同一個號碼嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →先會超過一半？大部分玩家估大約18或者19，即係37嘅一半。答案係8。
答案
計冇重複嘅概率，再用一減佢。k轉之後，p(全部唔同) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)。k = 8：1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44，所以p(有重複) ≈ 0.56。k = 14係0.93；k = 20係0.996。直覺會錯，因為兩轉一對嘅組合數目以k²增長，而任何一對都可以撞號。
點解喺賭枱上有關係
一塊顯示最近20個號碼嘅結果顯示板，差唔多一定有最少一次重複，好多時有兩三次。玩家見到「17喺十轉入面出咗兩次」，就斷定17好熱；生日數學話你知，十轉之內出現重複嘅機會係74%，而重複嘅係邊個號碼係隨機嘅。規律係真嘅；意思就唔係。
延伸問題
要幾多轉，某個特定號碼，例如17，先會出兩次？呢個係另一條問題，答案大好多：預期要等74轉，而20轉之內出兩次17嘅概率大約係10%。「某個號碼重複」（8轉）同「呢個號碼重複」（74轉）嘅分別，就係事後先留意到嘅規律同事先做嘅預測之間嘅全部分別。
試吓
喺示範遊戲轉十轉，再睇紀錄。通常都會有重複。再轉一次。重複嘅號碼會唔同。咁樣做十次，你就見識過生日問題數學生日問題要幾多個人，先至大有可能有兩個同日生日；或者要轉幾多轉，先至大有可能有個號碼重複。喺37格嘅轉輪上面，8轉就已經有多過一半機會。睇全文 →；做一千次（模擬器做得到），你就量度到佢。
公式
問題
完全一樣，只係用37個格代替365日。生日要23個人先有50%；轉輪8轉就有56%。
大約19轉之後有50%。仍然好平常。
唔係。同一個轉輪幾千轉嘅紀錄先會；一次重複永遠唔會。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
美式轉輪隔籬嘅結果顯示板顯示最近16轉。上面冇任何號碼出兩次嘅概率有幾大？
睇答案
答案 大約2.5%：每40塊顯示板大約有39塊起碼有一個重複號碼。
一轉一轉咁計。第一轉出咩都得。第二轉要避開佢：38個結果有37個可以出。第三轉要避開頭兩個：38個有36個。第十六轉要避開十五個號碼：38個有23個。
乘埋：38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246。
冇重複號碼嘅顯示板先係少見。有重複號碼嘅顯示板，完全話唔到你知個轉輪有咩問題。
歐式轉輪轉十次，17啱啱出五次嘅概率係幾多？任何一個號碼出五次或以上嘅概率呢？仲有，四轉入面任何一個號碼出最少三次嘅概率呢？
睇答案
答案 17啱啱五次：315,576分之1。某個號碼五次或以上：大約8,333分之1。四轉入面某個號碼最少三次：349分之1。
17出五次：十轉入面揀邊五轉，有252種揀法，每種概率係(1/37)⁵ × (36/37)⁵。加埋係315,576分之1。
任何一個號碼：37個號碼每個中五次或以上嘅概率係308,325分之1，加埋係37/308,325，即係8,333分之1。兩個號碼各中五次嘅罕見情況重複計咗，但喺呢個精度，減走佢都唔會改變結果。
四轉入面出三次：一個號碼嚟講，37⁴個可能結果入面有4 × 36 + 1 = 145個；37個號碼任何一個嚟講，145/37³ = 349分之1。
雙零轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →轉輪對應嘅數字係359,275分之1、9,243分之1同368分之1。「17」同「任何一個號碼」之間嘅差距又係生日問題數學生日問題要幾多個人，先至大有可能有兩個同日生日；或者要轉幾多轉，先至大有可能有個號碼重複。喺37格嘅轉輪上面，8轉就已經有多過一半機會。睇全文 →：有37種令人意外嘅可能。
漫畫小插曲
總有啲嘢好早就重複。至於係乜嘢，係隨機嘅。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds.「Ask the Wizard」，輪盤問題。