實例：玩一場馬丁格爾
十蚊落紅，每輸一次就加倍，枱限$500。逐轉睇，包括結束佢嗰一轉。
一場由$1,000本錢開始嘅模擬馬丁格爾。四十一次細贏，然後連輸六次，第七注畀賭枱拒絕。曾經贏住$410，最後成場輸咗$220，呢個正係呢個系統會做嘅嘢。
計劃
落$10喺紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →。輸咗就加倍。贏咗就返去$10。枱限賭枱枱限准落嘅最低同最高注碼。令加倍系統停低嘅，就係最高限額。睇全文 →$500，所以注碼係10、20、40、80、160、320，然後一注$640，賭枱會拒絕。連輸六次就爆咗個系統；每次嘗試有(19/37)⁶ ≈ 1.8%嘅機會咁樣，而一場100轉大約有50次嘗試。預期：100轉之內大約有60%機會爆，爆嗰陣輸$630。
第1–30轉
普通嘅馬丁格爾策略馬丁格爾每輸一次就將注碼加倍嘅加注系統。佢做到乜、做唔到乜，睇「輪盤落注策略」區。睇全文 →：一到三次輸，每串都以一次淨賺+$10嘅贏結束。到第30轉，我哋已經贏咗17次，每次完成一個循環，贏住$170。到目前為止最大嘅注係連輸三次之後嘅$80。感覺好似一部印$10紙幣嘅機器。
第31–60轉
差唔多都係咁，有一個輸四次嘅循環（注碼去到$160，然後贏），一度將$310放咗喺枱面，感覺好似好有膽。60轉之後：完成咗41個循環，贏住$410，而本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →由第30轉起最低係$1,040。每一場馬丁格爾喺大部分時間嘅分佈圖都係咁樣。
第61–66轉
輸 輸 輸 輸 輸 輸。注碼10、20、40、80、160、320：輸咗$630。下一注會係$640；枱限係$500。系統爆咗。我哋可以落$500（就算贏，呢個循環都仲係輸$130），或者返去$10，接受個損失。連續六次黑注黑買18個黑色號碼嘅一賠一注。法文：noir。睇全文 →或者零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係每個循環1.8%。我哋已經行咗大約45個循環。45個循環入面某個時候行到呢一步嘅機會大約係55%。呢個唔係衰運；係中位數。
- 第10百分位數 −$1,000
- 第25百分位數 −$1,000
- 中位數 −$1,000
- 第75百分位數 +$790
- 第90百分位數 +$1,690
埋數
60轉之後贏住$410，66轉之後輸咗$220。總共落咗：66轉大約$2,100，而每轉固定$10嘅玩家係$660。$2,100總投注額錢總投注額一場或者一段時間入面總共落咗幾多錢，包括用贏返嚟嘅錢再落嘅注。又叫 handle、action。睇全文 →嘅預期損失數學預期損失期望值乘總投注額；即係一場或者一段時間入面平均輸嘅錢。睇全文 →係$57；我哋實際嘅−$220比佢低大約三分之一個標準差數學標準差方差嘅平方根；一個結果通常離期望值有幾遠。睇全文 →，對一個分佈有條長左尾嘅系統嚟講，冇乜出奇。如果我哋用$400嘅止賺策略止賺預先定好一個贏錢目標，一去到就收手結束嗰場。睇全文 →喺第60轉停手，就會贏住$410走，而下一場都一樣係每個循環1.8%。
呢場話畀我哋知乜嘢
馬丁格爾將一個48.65%嘅注，變成一個98%循環都贏、另外2%輸63個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →嘅序列。佢冇改變每蚊嘅預期損失；佢係將落嘅錢乘大咗。我哋隔籬嘅固定注碼玩家落嘅錢係三分之一，平均嚟講輸嘅都係三分之一。玩一年呢個系統嘅玩家，大部分晚上都會贏，但成年會輸。
連輸有幾常見
喺單零轉輪落一賠一注，每37轉有19轉會輸。每一行係指定嘅一段轉全部輸嘅概率，同埋一個每輸一次就加倍嘅馬丁格爾玩家，到嗰陣已經輸咗幾多。
| 連輸次數 | 概率 | 大約幾多次有1次 | 到而家輸咗 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
概率係19/37自己乘自己，每輸一次乘一次，由指定嘅某一轉開始計。一場玩得耐，可以開始呢種連輸嘅轉有好多個，所以成晚計落嚟，出現嘅機會遠高過單獨一行顯示嘅數字。
問題
要輸九次先爆，唔係六次：每個循環0.25%，爆嗰陣輸$5,110。懸崖罕見啲、高啲，一樣係−2.70%。
佢有48.65%嘅時間會贏，但無論點呢個循環都係−$130。馬丁格爾爆咗之後冇好嘅一步；只有你下一注揀幾多。
對嗰一場有。對所有場嘅平均值冇。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
喺枱限$1到$500嘅賭枱，一個馬丁格爾策略馬丁格爾每輸一次就將注碼加倍嘅加注系統。佢做到乜、做唔到乜，睇「輪盤落注策略」區。睇全文 →玩家喺單零轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →轉輪上由$1落紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →開始。連輸幾多次就冇得再加倍？到嗰陣已經輸咗幾多？呢種情況幾耐發生一次？
睇答案
答案 連輸九次：已經輸咗$511，下一注會係$512。大約每403輪發生一次。
注碼係1、2、4、8、16、32、64、128同256：加埋$511。第十注會係$512，超過上限。落$500嘅話，中咗玩家都仲輸$11；再輸就輸$1,011。
紅輸嘅概率係19/37，所以連輸九次嘅概率係(19/37)⁹ ≈ 0.25%，大約每403輪一次。每完成一輪贏$1，所以玩家預期喺一次輸$511之前，會有大約$402嘅細額贏錢，而平均嚟講仍然輸總投注額嘅2.70%。
喺雙零轉輪上，概率係(20/38)⁹，大約每323輪一次。Bollman（2021）印咗「大約833分之1」，嗰個係(18/38)⁹，即係連贏九次嘅概率。
漫畫小插曲
四十一次細贏，一次大輸。成個系統就係咁。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”