斐波那契輪盤策略
斐波那契輪盤策略嘅注碼跟1、1、2、3、5、8、13……行。輸咗向前行一步，贏咗退兩步。
佢贏唔到轉輪；冇任何注碼計劃做得到。佢比馬丁格爾溫和，所以撞到枱限之前頂得住長啲嘅連輸，但追返都慢啲。預期損失一樣係總投注額錢總投注額一場或者一段時間入面總共落咗幾多錢，包括用贏返嚟嘅錢再落嘅注。又叫 handle、action。睇全文 →嘅2.70%。
數列點樣砌出嚟
每個數都係前面兩個數加埋。
所以8同13之後就係21。
將每個數畫成一個正方形，啲正方形就砌得埋：每個新正方形嘅邊長，等於前面兩個並排擺嘅長度。每個正方形入面畫一條四分一圓弧，連埋就變成螺旋線。
一步一步行一次數列
輸咗就向右行一步。贏咗就退後兩步。
注碼同結果都用底注做單位。
斐波那契輪盤系統點運作？
寫低斐波那契策略斐波那契跟住1、1、2、3、5、8、13…呢個數列嘅加注系統：輸咗行前一步，贏咗退後兩步。睇全文 →數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。每個數都係前面兩個數加埋。由第一個開始，落咁多個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →。輸咗，向右行一步。贏咗，向左行兩步；如果前面唔夠位，就返去起點。成個系統就係咁。個表列出每一步嘅成本：一連串輸，如果畀枱限賭枱枱限准落嘅最低同最高注碼。令加倍系統停低嘅，就係最高限額。睇全文 →或者你嘅本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →截斷，輸嘅就係到嗰度為止所有注碼加埋。
一場會係點？
用$10做底注，轉八次：輸 輸 贏 輸 輸 輸 贏 贏。注碼依次係10、10、20（贏，退兩步，返第1步）、10、10、20、30（贏，退兩步，返第2步）、10（贏，返起點）。輸咗：10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60。贏咗：20 + 30 + 10 = 60。輸五次，贏三次，你打和。呢個就係呢個系統吸引人嘅地方。代價都寫喺同一行：為咗去到呢度，你落咗$120注，而落嘅每一蚊都要負擔莊家優勢數學莊家優勢賭場平均喺每一注注碼入面留低嘅比例：歐式輪盤係2.70%。睇全文 →。
點解退兩步，唔係一步？
因為贏一次正好抵兩次輸。每個數都係前兩個數加埋，所以落5個單位贏咗，就攞返啱啱輸咗嘅2同3。當佢係一條樓梯：每輸一次上一級，每贏一次落兩級。你企喺邊級，就代表你欠幾多。喺第5步你輸緊7個單位，喺第8步輸緊33個，返到第一步就啱啱打和。利潤只係嚟自喺第一步贏，每次一個單位。
贏同輸差唔多一樣多，贏一次退兩步聽落好抵，而大部分時間條樓梯的確會帶你落返嚟。問題係你越爬越高，每級都越嚟越高。喺第一步贏十次，賺10個單位。喺第6、7同8步輸三次，就要輸8 + 13 + 21 = 42。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$250
- 第90百分位數 +$920
斐波那契系統有冇用？
冇用，起碼唔係一個令你贏錢收場嘅方法。計法同每個系統一樣：每注平均輸注碼嘅1/37，所以成個數列輸總投注額嘅1/37。喺輪盤用斐波那契數列落注改變唔到呢樣，因為無論籌碼錢籌碼代表固定金額嘅代幣，放喺投注枱面上面嚟落注。又叫 check。睇全文 →幾大，轉輪都係派同樣嘅賠率。斐波那契嘅注碼會慢慢升，所以每轉落得多過固定注碼策略固定注碼每一轉都落同樣嘅金額。所有加注系統都用佢做比較基準。睇全文 →，每場嘅預期損失數學預期損失期望值乘總投注額；即係一場或者一段時間入面平均輸嘅錢。睇全文 →亦高啲。馬丁格爾策略馬丁格爾每輸一次就將注碼加倍嘅加注系統。佢做到乜、做唔到乜，睇「輪盤落注策略」區。睇全文 →落得仲多，輸得仲多。
係咪安全過馬丁格爾？
佢慢啲，但慢唔等於安全。斐波那契注碼每步大約升1.6×，唔係2×，所以由$10底注開始，大約連輸十次先撞到$500枱限，唔係六次。所以懸崖少見啲：一賠一注連輸十次係(19/37)¹⁰ ≈ 0.13%，連輸六次係(19/37)⁶ ≈ 1.8%。但個懸崖亦高啲，因為去到嗰度之前已經落咗更多，而且贏一次都補唔返。
呢啲數字邊度嚟？
嚟自一條關於兔仔嘅謎題。比薩嘅李奧納多（後來人叫佢斐波那契）喺1202年嘅《Liber Abaci》出咗呢條題：由一對兔仔開始，每對兔仔由第二個月起每個月生一對新兔仔，問總共有幾多對。答案係1、2、3、5、8、13咁落去。佢唔係第一個搵到呢條規律嘅人。研究詩歌節奏嘅印度學者更早已經寫低咗：Singh（1985）追溯到600到800年之間嘅Virahanka，之後係Gopala同Hemachandra。
佢哋冇一個諗過輪盤。呢度用嘅資料冇講邊個最先跟呢個數列落注。資料講得到嘅係：佢嘅算術同輪盤嘅算術永遠唔會交匯，一個講注碼點樣升，另一個講每注返幾多。
連輸之後會輸幾多？
兩條恆等式令上面個表好易核對。連輸n次之後，總損失係第(n + 2)個斐波那契數減1，即係1、2、4、7、12、20咁落去，而下一注係第(n + 1)個斐波那契數。Bollman（2021）用歸納法證明咗同一個結果，不過佢嘅數列由1、2、3開始，所以每個數移後一位。由1個單位開始、枱限500個單位，馬丁格爾落唔到第10注，即係512個單位。斐波那契落得到第14注，即係377個單位，但落唔到第15注，610。
喺打注或者欄注會有乜嘢唔同？
喺派1賠2嘅打注注打注1–12、13–24或者25–36，派彩2:1。睇全文 →或者欄注注欄注投注枱面上面打直一欄嘅十二個號碼，派彩2:1。睇全文 →，唔使退步。用注碼F贏，派2F，一定多過之前輸咗嘅全部，所以每次贏都會令成輪以贏錢收場。代價係打注37次得12次中，所以長嘅連輸常見得多：打注連輸十四次大約每242次就有一次，紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →就大約11,000次先有一次。
如果連贏兩次先停呢？
另一個變種唔理輸贏，每轉之後都向前行一步，連贏兩次先停。如果連贏兩次之前輸咗n次，利潤係第(n + 1)個斐波那契數加1：連贏嚟得早，利潤細；嚟得遲，利潤大啲，而贏嗰陣嘅注碼亦已經升到咁大。早嚟嘅連贏一定係注碼細嗰陣；遲嚟嘅就可能要喺成場最差嘅時候落一注大注。
模擬器 · 斐波那契
用$1,000本錢玩一賠一注，模擬2,000場。
底注$10 · 枱限$500 · 每場100轉
連輸有幾常見
喺單零轉輪落一賠一注，每37轉有19轉會輸。每一行係指定嘅一段轉全部輸嘅概率，同埋一個每輸一次就喺數列向前行一步嘅斐波那契玩家，到嗰陣已經輸咗幾多。
| 連輸次數 | 概率 | 大約幾多次有1次 | 到而家輸咗 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26.4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13.5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7.0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1.8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0.94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0.48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0.25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0.13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $1,596 | $987 |
概率係19/37自己乘自己，每輸一次乘一次，由指定嘅某一轉開始計。一場玩得耐，可以開始呢種連輸嘅轉有好多個，所以成晚計落嚟，出現嘅機會遠高過單獨一行顯示嘅數字。
問題
有：贏咗向前，輸咗向後。效果好似一個慢啲嘅Paroli策略Paroli贏咗加注：贏咗就加倍，輸咗或者連贏三次就重設。又叫反馬丁格爾。睇全文 →。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
用一個變種：每轉之後唔理輸贏都沿數列行前一步，連贏兩次就停。注碼係1、1、2、3、5、8，如此類推。頭十四個結果係W L W L L L W L L L W L L W。而家輸贏係點，下一注係幾多？
睇答案
答案 輸緊22個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →。下一注係610個單位；中嘅話，呢場會以贏588個單位收尾。
注碼係頭十四個斐波那契策略斐波那契跟住1、1、2、3、5、8、13…呢個數列嘅加注系統：輸咗行前一步，贏咗退後兩步。睇全文 →數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233同377。贏嘅注碼加，輸嘅注碼減：+1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22。
最後一個結果係贏，所以再贏一次就完。下一個注碼係610：贏咗係+588，輸咗係−632，再下一個注碼係987。
呢個變種一定以賺錢收尾，但呢個例子要落一注610個單位先做得到。按平時嘅規則，贏咗退兩步，同樣十四個結果只會輸1個單位，下一注係2。Bollman（2021）由1、2、3開始條數列，結果輸1個單位，下一注係3。呢個例子用平時嘅規則輸得少啲，因為每次贏都會將注碼拉返落低位。
轉注碼結果累計總數11W+121L032W+243L−155L−668L−14713W−1821L−22934L−561055L−1111189W−2212144L−16613233L−39914377W−22同一個變種，點解輸n次之後跟住贏兩次，一定會淨賺第(n + 1)個斐波那契數加1？
睇答案
答案 輸n次加埋係第(n + 2)個斐波那契數減1，而跟住兩次贏嘅注碼加埋，比佢多第(n + 1)個數加1。
用F₁、F₂、F₃……代表1、1、2、3、5……每個數都係前面兩個數加埋。
輸嘅總數：F₁ + F₂ + … + Fₙ。將F₂代表嘅1加落呢個總和，就可以一步一步合併：F₂ + F₁ = F₃，跟住F₃ + F₂ = F₄，如此類推，直到成個總和變成Fₙ₊₂。所以輸嘅總數係Fₙ₊₂ − 1。
贏嘅係跟住兩個注碼Fₙ₊₁同Fₙ₊₂。利潤：Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1。輸四次嘅話，即係F₅ + 1 = 6個單位。
漫畫小插曲
黃金比例撞正最高注碼告示牌。
來源
- RouletteDoc。策略介紹同例子。
- Roulette77。策略介紹同例子。
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.