問題：撞正枱限
喺$500枱玩$10馬丁格爾。幾耐會爆一次，爆嗰陣輸幾多，提高枱限又有冇用？
連輸六次就爆：每個循環1.8%，大約60%嘅100轉場會爆。爆一次蝕$630。將枱限提高到$5,000，爆得少啲（每個循環0.25%），但爆得大啲（$5,110）。無論枱限幾多，每蚊注碼嘅預期損失都係2.70%。
問題
一個玩家落$10喺紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →，每輸一次就加倍，贏咗就重設。賭枱上限係$500。(a) 連輸幾多次會令加注系統策略加注系統任何跟之前結果改變注碼嘅規則。輸咗加注係負向，贏咗加注係正向。睇全文 →爆？(b) 每個循環嘅概率數學概率一個結果出現嘅機會，由0到1或者0%到100%。一個號碼：1/37 = 2.70%。睇全文 →係幾多？(c) 爆嗰陣輸幾多？(d) $5,000枱限會點樣改變答案？(e) 有冇任何枱限可以令呢個系統賺錢？
答案(a)–(c)
注碼：10、20、40、80、160、320。第七注會係640 > 500，所以連輸六次就爆。(b) 落紅p(輸) = 19/37；(19/37)⁶ = 0.0183，大約每個循環1.8%。一個循環平均大約兩轉，所以一場100轉大概有50個循環，p(最少爆一次) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%。(c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630，即係63個基本單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →，而呢個循環想贏嘅只係$10。
答案(d)
枱限$5,000：注碼最高可以去到2,560；第十注5,120會畀拒絕。連輸九次就爆：(19/37)⁹ ≈ 每個循環0.25%，大約11%嘅100轉場。爆嗰陣嘅損失：10 + 20 + … + 2,560 = $5,110。玩家用一個更大嘅災難，換嚟一個更罕見嘅災難。好多場加埋，爆嘅預期成本係p × 損失 ≈ 0.0183 × 630 = 枱限$500時每個循環$11.5，$5,000時係0.0025 × 5,110 = $12.8；兩個好接近但唔相等，而每個都係循環嘅預期損失數學預期損失期望值乘總投注額；即係一場或者一段時間入面平均輸嘅錢。睇全文 →加上贏嘅循環賺嘅$10。
答案(e)
冇。每個循環嘅預期損失 =（循環入面嘅預期總注碼）/ 37，無論枱限幾多，因為每一注都係佢自己嘅−1/37。枱限只係決定損失點樣分配喺好多次細贏同幾次大輸之間。冇枱限、本錢錢本錢預留嚟玩嘅總數。本錢管理即係決定每一注同每一場用幾多去冒險。睇全文 →又無限嘅話，加注系統會「有效」，即係佢永遠唔會爆，但佢亦會落無限咁多注，預期損失就係嗰個無限數目嘅2.70%。阻止馬丁格爾策略馬丁格爾每輸一次就將注碼加倍嘅加注系統。佢做到乜、做唔到乜，睇「輪盤落注策略」區。睇全文 →有效嘅唔係枱限賭枱枱限准落嘅最低同最高注碼。令加倍系統停低嘅，就係最高限額。睇全文 →，係數學。
兩張真實嘅賭枱
Thorp 嘅例子係一張$1枱、上限$1,000，一個玩家想一蚊一蚊咁贏$30食晚飯。注碼1、2、4 … 512可以落十注，所以連輸十次就爆：歐式轉輪每785個循環一次（美式每613個一次），代價$1,023。三十個循環全部成功嘅機會係96.2%。其餘3.8%輸大約$1,000，成晚平均結果係−$9.17，正正係三十個循環平均總注碼$339嘅1/37。一張$5枱、上限$2,000都冇分別：注碼最高$1,280，可以落九注，歐式轉輪每403個循環爆一次（美式每323個一次），代價$2,555。
一個有錢嘅玩家
唔用低枱限，改為畀加注系統一筆好深嘅本錢：1,000個單位，底注一個單位，落紅1,000轉，每當下一次加倍超過剩低嘅錢，就由一個單位重新開始。我哋模擬咗一百萬個咁樣嘅晚上。喺歐式轉輪，52%贏住收場，21%輸晒，平均結果係−124個單位。就算喺一個冇零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →、每注都公平嘅遊戲，都只有大約60%會贏住收場。平常嘅一晚係細贏；平均值就由嗰啲以零收場嘅晚上埋單。
教訓
賭場定枱限係為咗封住自己嘅方差數學方差量度啲結果喺期望值周圍散得幾開嘅數。單號就高，一賠一注就低。睇全文 →，唔係為咗打敗系統。打敗馬丁格爾只係佢哋樂於見到嘅副作用，而就算冇枱限，數學都會打敗佢。以為問題出喺枱限嘅玩家，搵到咗懸崖，但錯當咗佢係斜坡。
公式
問題
佢令你撐得到更高嘅枱限，喺嗰度爆得少啲但大啲。每蚊嘅預期損失冇變。
注碼10、30、70、150、310：連輸五次就撞到$500枱限，爆一次蝕$570。一樣係2.70%。
等一個玩家落嘅注唔會超過賭場儲備輕鬆畀得起嘅數。即係方差管理。
數學小謎題
自己試吓先。每個答案都摺埋咗，準備好先打開睇。
一套馬丁格爾策略馬丁格爾每輸一次就將注碼加倍嘅加注系統。佢做到乜、做唔到乜，睇「輪盤落注策略」區。睇全文 →喺紅注紅買18個紅色號碼嘅一賠一注。法文：rouge。睇全文 →由$100起注，每輪最多准落n注：連輸n注就放棄，由頭開始。將一輪嘅平均結果寫成n嘅公式，再計歐式轉輪上5、6同7注嘅結果。
睇答案
答案 平均係100 × (1 − (38/37)ⁿ)：5注−$14.26、6注−$17.35、7注−$20.52。准落多啲注，令一輪平均更差，而唔係更好。
除非n注全部輸，否則一輪贏$100；全輸嘅概率係qⁿ，q = 19/37。全輸嘅時候，注碼100、200……100 × 2ⁿ⁻¹加埋係100 × (2ⁿ − 1)。所以平均係100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)。
呢度2q = 38/37，比1大少少，所以(2q)ⁿ隨n增大，平均就跌：n = 5得1.1426同−$14.26；n = 6得1.1735同−$17.35；n = 7得1.2052同−$20.52。長啲嘅樓梯輸得少啲，分別喺3.6%、1.8%同0.9%嘅輪次輸，但每次輸大一倍，而且每輪經過賭枱嘅錢多咗，每一注都要畀2.70%。
美式轉輪上2q = 40/38，數字係−$29.24、−$36.04同−$43.20（Taylor，2021）。喺冇零號轉輪零號唯一一個綠色格，冇任何一賠一注、打注或者欄注包到佢；莊家優勢就係由佢嚟。又叫單零、0。睇全文 →嘅遊戲2q = 1，無論樓梯幾長，每輪平均都啱啱係零。
「Grand Martingale」輸咗之後將注碼加倍再加一個單位錢單位一個系統或者一個玩家用嘅底注。加注系統用單位嚟描述，咁就喺邊張枱都用得。睇全文 →，所以注碼係1、3、7、15、31……第一次中喺第1、第2、第3或者第k注，贏幾多個單位？如果單位係$10、最高注碼$500，一輪幾耐爆一次，平均成本係幾多？
睇答案
答案 第k注中之後淨贏k個單位：+1、+2、+3，如此類推。單位$10、最高注碼$500嘅話，一輪連輸五次就爆，佔3.57%嘅輪次，結果係−$570。平均每輪喺$85.73注碼入面輸$2.32：2.70%。
第k個注碼係2ᵏ − 1個單位：1、3、7、15、31。頭k − 1個注碼加埋係2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1。第k注中派2ᵏ − 1，所以一輪完嘅時候淨贏(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k個單位：中之前每輸一次就多贏一個單位。
單位$10嘅話，注碼係$10、$30、$70、$150同$310；再下一個$630超過$500嘅最高注碼。連輸五次，(19/37)⁵ = 3.57%，輸10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570。
平均：k = 1到5，中嘅概率係(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37，帶嚟$10 × k；爆煲嘅概率係3.57%，輸$570；加埋−$2.32。平均每輪注碼係$85.73，2.32/85.73 = 2.70%。同一張枱上普通馬丁格爾連輸六次先爆，佔1.83%嘅輪次，結果係−$630，喺$64.20注碼入面輸$1.74：一樣係2.70%。
有個玩家打算喺紅用馬丁格爾，首注$1，賭枱嘅枱限係$1,000，所以可以落十注：$1、$2、$4，一路到$512。一輪幾耐會十注全輸，平均要幾耐，一晚200注幾常會咁樣收場？
睇答案
答案 一輪十注全輸大約每784輪一次，輸$1,023。平均大約1,600注，而一晚200注大約有11%機會撞到枱限。一輪喺$11.31注碼入面平均仍然輸$0.31：2.70%。
紅注輸嘅概率係19/37，包埋零號。連輸十次：(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128，大約784分之1。注碼1 + 2 + 4 + … + 512加埋係$1,023。
一輪平均要2.05注，所以784輪大約係1,600注。按每轉計，十次連輸喺200注入面某處出現嘅概率係11.3%。
喺兩次災難之間，玩家每輪贏$1：先贏大約$783，跟住衰嗰輪−$1,023，成段大約係−$240。每輪：1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。每輪注碼：1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。而−0.31/11.31 = −2.70%。
對比首注$10、枱限$500、可以落六注嘅情況：大約每55輪撞一次枱限，一晚200注有84%機會撞到。枱限高啲令爆煲更少見、輸得更多，但唔會平啲。
漫畫小插曲
每個枱限都係罕見啲、大啲。兩者乘埋係常數。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.